[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.W krótkim czasie sława Toma rozeszła się po całym kraju.Do laboratorium zjeżdżało coraz więcej ludzi, którzy na wszelkie sposoby starali się wynaleźć problem na tyle trudny, aby zapędzić Toma w kozi róg.Nikomu się to nie udawało.Twórcy Toma nabrali takiego przekonania o jego nieomylności, że namówili króla, aby ufundował nagrodę dla tego, komu udałoby się pokonać Toma w jego niewiarygodnych zdolnościach analitycznych.Pewnego dnia na uniwersytecie zjawił się jakiś przybysz z innego kraju z dużą kopertą i poprosił, aby pozwolono mu zmierzyć się z Tomem o przyobiecaną nagrodę.Wewnątrz koperty była kartka papieru z wypisanym na niej zdaniem dla Toma.Zdanie to, które oznaczymy tutaj literą Z (od „zdanie”) brzmiało po prostu: „Tom nie może uznać tego zdania za prawdziwe”.Zdanie Z zostało jak zwykle przekazane Tomowi.Nie upłynęło kilka sekund, jak Tom zaczął się zachowywać dziwnie.Po pół minuty z budynku wybiegł ktoś z obsługi i oznajmił, że Toma trzeba było wyłączyć z przyczyn technicznych.Cóż takiego się stało? Załóżmy, że Tom miałby roztrzygnąć, iż Z jest prawdziwe.Oznaczałoby to, że zdanie „Tom nie może uznać tego zdania za prawdziwe” zostałoby sfalsyfikowane, ponieważ Tom to właśnie zrobił.Lecz skoro Z zostało sfalsyfikowane, nie może być prawdą.Zatem jeśli Tom orzeknie „prawda” o zdaniu Z, wniosek ten będzie fałszywy, co przeczy jego głoszonej nieomylności.Toteż Tom nie może uznać tego zdania za prawdziwe.W ten sposób doszliśmy do wniosku, że Z jest jednak prawdziwe.Jednak dochodząc do tego wniosku wykazaliśmy, że Tom nie może dojść do tego samego wniosku.Oznacza to, że wiemy, że coś jest prawdziwe, lecz Tom nie może tego uznać za prawdziwe.W tym tkwi istota dowodu Godła, że zawsze będą istniały pewne zdania, których prawdziwości nie można udowodnić.Ów podróżny, wiedząc o tym, z łatwością skonstruował takie zdanie i zgarnął nagrodę.Należy jednak pamiętać, że odkrycie Godła dotyczyło ograniczeń związanych z aksjomatyczną metodą dowodzenia twierdzeń, a nie samych zdań, których miałoby się dowodzić.Zdanie, którego prawdziwości nie da się dowieść w danym systemie aksjomatów, zawsze może być samo uznane za aksjomat i dołączone do systemu.W tak powiększonym systemie będą z kolei istnieć inne zdania niedowodliwe i tak dalej.Twierdzenie Godła stanowiło druzgocący cios dla programu formalistów, niemniej idea czysto mechanicznego rozstrzygania prawdziwości zdań matematycznych nie została całkowicie zarzucona.Może niedowodliwe zdania są tylko rzadkimi wynaturzeniami, które dałyby się oddzielić od reszty logiki i matematyki? Gdyby udało się znaleźć jakąś metodę odróżnienia zdań niedowodliwych od dowodliwych, w przypadku tych ostatnich stwierdzanie ich prawdziwości lub fałszywości nadal byłoby zawsze możliwe.Jednakże, czy możliwe jest podanie systematycznej procedury pozwalającej na nieomylne rozpoznawanie i odrzucanie zdań niedowodliwych? Zadanie to zostało podjęte w połowie lat trzydziestych przez Alonzo Churcha, współpracownika von Neumanna z Princeton, który rychło stwierdził, że nawet ten skromniej wyznaczony cel jest nieosiągalny, przynajmniej w skończonej liczbie kroków.Innymi słowy, możemy formułować zdania matematyczne, które są potencjalnie prawdziwe lub fałszywe, i możemy wdrożyć systematyczną procedurę rozstrzygającą o ich prawdziwości, lecz nie jesteśmy w stanie poznać wyników tej procedury, gdyż nigdy się ona nie skończy.NieobliczalnośćProblem ten został również podjęty, zupełnie niezależnie i z całkowicie innej strony, przez Alana Turinga, gdy był jeszcze studentem w Cambridge.Matematycy często mówią o „mechanicznej” procedurze rozwiązywania problemów matematycznych, „za naciśnięciem guzika”.Turinga fascynowało, czy można by naprawdę zbudować maszynę, która by to robiła.Taka maszyna byłaby w stanie rozstrzygać o prawdziwości zdań matematycznych w sposób całkowicie automatyczny, bez udziału człowieka, poprzez niewolnicze trzymanie się deterministycznego ciągu instrukcji.Lecz jak zbudować takie urządzenie? Na jakiej zasadzie miałoby ono działać? Turing wyobraził je sobie na kształt maszyny do pisania, wypisującej symbole na kartce, lecz ponadto będącej w stanie odczytywać napisane znaki i w razie potrzeby je wymazywać.Ostatecznie doszedł do koncepcji nieskończenie długiej taśmy, podzielonej na kwadratowe pola, przy czym w każdym polu znajduje się jeden znak.Maszyna miałaby przesuwać taśmę o jedno pole, czytać zawartość pola i w zależności od tego, co przeczytała, pozostawać w tym samym stanie albo przechodzić w nowy stan.W każdym wypadku jej reakcja byłaby czysto automatyczna, wyznaczona przez jej konstrukcję.Maszyna bądź zostawiałaby przeczytany symbol bez zmian, bądź wymazywałaby go i wpisywała inny, a następnie przesuwałaby taśmę o jedno pole i cały proces powtarzałby się od nowa.W istocie maszyna Turinga jest tylko urządzeniem pozwalającym na przekształcanie jednego ciągu symboli w inny ciąg na podstawie ustalonych wcześniej zasad.W razie potrzeby zasady te można by przedstawić w postaci tabelki, z której dałoby się odczytać, jak zachowa się maszyna w kolejnym kroku.Tak więc w gruncie rzeczy nie trzeba budować prawdziwej maszyny z metalu i papierowej taśmy, aby przekonać się, jak ona działa.Łatwo, na przykład, wypisać tabelkę odpowiadającą maszynie realizującej dodawanie liczb.Jednakże Turing stawiał sobie bardziej ambitne cele
[ Pobierz całość w formacie PDF ]