[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.(7.38)NLwwSprawność jest liczbą bezwymiarową spełniającą nierówność: 0 ≤ η ≤.17.1.8.Moc układu sił działających na bryłę sztywnąW poprzednim punkcie zdefiniowaliśmy moc siły P działającej na punktmaterialny.Obecnie obliczymy moc układu n sił zewnętrznych Pk, gdziek = 1, 2,., n, przyłożonych odpowiednio w punktach A1, A2,., An bryłysztywnej, poruszającej się znanym ruchem względem nieruchomego układuwspółrzędnych x, y, z (rys.7.11).W dowolnym punkcie (biegunie redukcji) O′umieścimy ruchomy układ współrzędnych x′, y′, z′ poruszający się razem z bryłą.Układ sił Pk reprezentują wektor główny W i moment główny M umieszczone O′w biegunie redukcji O′ , a ruch bryły jest określony za pomocą prędkości vO′bieguna O′ i prędkości kątowej ω.z′ωMOzy′vO′Pkr ′kO′AkWvkOyx′xRys.7.11.Wyznaczenie mocy układu sił działających na bryłę sztywnąZgodnie z definicją moc Nk siły PkN = P ⋅ v.kkkPrędkość dowolnego punktu Ak zgodnie ze wzorem (5.29) możemy zapisaćw następujący sposób:v = v ′ + ω× r′.kOkPo podstawieniu tego wzoru do wzoru na moc Nk siły Pk oraz wykorzystaniuwłasności iloczynu mieszanego (2.31) otrzymujemy:N = P ⋅ v ′ + ω× r′ = P ⋅ v ′ + P ⋅ ω× r′ = P ⋅ v ′ + ω⋅ r′× P.kk ( Ok )kOk () k O( k k )Moc układu sił działających na bryłę sztywną otrzymamy po zsumowaniu −zgodnie ze wzorem (7.37) − mocy poszczególnych sił:nnN = ∑ N = ∑ P ⋅ v + ⋅ ′×=⋅+ ⋅′×′ω rPv ′ ∑P ω ∑r P.k[ k O( k k )]nnOkkkk 1=k 1=k 1=k 1=OstatecznieN = W⋅ v.(7.39)O′ + M O′ ⋅ ωZgodnie z zależnościami (3.25) i (3.26) w powyższym wzorze W jest wektoremgłównym, a M momentem głównym układu sił zewnętrznych zredukowanychO′do bieguna redukcji O′.Wzór(7.39)można wyrazić słownie:Moc układu sił zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumieiloczynu skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna redukcji oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż biegunai prędkości kątowej.7.2.1.Pęd układu materialnego i bryłyPędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy punktu i jego prędkości:p = mv.(7.40)vmknvnzZ powyższej definicjim1mkwynika, że pęd jest wektorem orvCkCmkierunku prędkości, a więc jestr2kwektorem stycznym do toruv1Cpunktu materialnego.rCv2Dla układu n punktówmaterialnych o masach mOk iprędkości vyk (rys.7.12) pędbędzie równy sumie pędówxposzczególnych punktówmaterialnych:Rys.7.12.Wyznaczenie pędu układu materialnegonp = ∑m v.(7.41)kkk=1Wzór (7.41) można przedstawić w postaci:dp =∑nm r.(a)kkdt k 1=Widzimy,że występująca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem(4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego układu materialnegowzględem początku nieruchomego układu współrzędnych x, y, z :S = ∑n m r = mr.(b)kkCk 1=Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41)możemy zapisać w postaci:nd Sp = ∑m v = m v =, (7.42)kkCk 1=dtgdzie m jest masą całkowitą układu materialnego.Z otrzymanego wzoru wynika, że pęd układu materialnego jest równyiloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości vC środka masy C.Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie pędu.Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układumaterialnego względem nieruchomego punktu:d Sp =.(7.43)dtPonieważ moment statyczny względem środka masy jest równy zeru (patrz p.4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru
[ Pobierz całość w formacie PDF ]